Kolikkotehtävä

 Tehtävä: 

"Suuresta määrästä" 10 sentin, 20 sentin ja 50 sentin kolikoita nostetaan sattumanvaraisesti  yksi kolikko kerrallaan. kunnes saatujen kolikkojen yhteenlaskettu arvo on vähintään yksi euro. Laske tarvittavien nostojen määrän odotusarvo!  

Houkutus:

Äkkiä ajatellen voisi päätellä näin: Koska yhdellä nostolla saatavan rahamäärän odotusarvo on 80/3 senttiä, niin eikös tarvittavia nostoja ole keskimäärin 100/(80/3) eli 3.75?!

Voi olla, että tämä meneekin lähelle oikeaa mutta en usko asian olevan näin yksinkertaisen. Lasketaanpa tarkasti. 

Eri vaihtoehtojen luokittelu:

Luokittelen eri vaihtoehdot sen mukaan, mikä rahamäärä edeltää viimeistä (onnistuvaa) nostoa. Nämä   luokat ovat (senttein määrinä)

50, 60, 70, 80 ja 90.

Otan näistä luokista tässä käsittelyyn esimerkiksi luokan 70. Muissa toimitaan sitten vastaavilla tavoilla. 

Summaan 70 senttiä voidaan päätyä seuraavilla kymppien, kakasikymppisten ja viisikymppisten määrillä (m,n,p):

(7,0,0) / (5,1,0) / (3,2,0) / (1,3,0) / (2,0,1) / (0,1,1).

Koska näitä nostoja seuraa enää yksi nosto, niin laskemamme satunnaismuuttuja saa näissä tapauksissa vastaavasti arvot:

8 / 7 / 6 / 5 / 4 / 3.

Luokassa 70 viimeisen noston pitää olla 50-senttinen. Tämän todennäköisyys on helppo: 1/3.  Vähän vaikeampi on laskea edellä mainitujen yhdistelmien todennäköisyydet, siinä kun pitää ottaa vielä eri järjestykset sopivasti huomioon. Binomikertoimilla se useimmiten onnistuu. Luettelen eri vaihtoehtojen järjestystekijät:

1 / 6 / 10 / 4 / 3 / 2.

Täten luokan 70 antama osuus laskettavaan odotusarvoon on

[(1/3)^7*8+6*(1/3)^6*7+10*(1/3)^5*6+4*(1/3)^4*5+3*(1/3)^3*4+2*(1/3)^2*3]*(1/3).  Tämän likiarvo on 0,5554031.

Kirjaan lyhyesti muutkin luokat ja niiden osuudet

Luokan 50 vaihtoehdot: (5,0,0) / (3,1,0) / (1,2,0) / (0,0,1) ja osuus

[(1/3)^5*6+4*(1/3)^4*5+3*(1/3)^3*4+(1/3)*2]*(1/3)  = 0,4609053.

: 

Luokan 60 vaihtoehdot: (6,0,0) / (4,1,0) / (2,2,0) / (0,3,0) / (1,0,1) ja osuus

[(1/3)^6*7+5*(1/3)^5*6+6*(1/3)^4*5+(1/3)^3*4+2*(1/3)^2*3]*(1/3) = 0,4394147.

Luokan 80 vaihtoehdot: (8,0,0) / (6,1,0) / (4,2,0) / (2,3,0) / (0,4,0) / (3,0,1) / (1,1,1)  ja osuus

[(1/3)^8*9+7*(1/3)^7*8+15*(1/3)^6*7+10*(1/3)^5*6+(1/3)^4*5+4*(1/3)^4*5+6*(1/3)^3*4]*(2/3) = 1,0769700.

Luokan 90 vaihtoehdot: (9,0,0) / (7,1,0) / (5,2,0) / (3,3,0) / (1,4,0) / (4,0,1) / (2,1,1) / (0,2,1) ja osuus:

[(1/3)^9*10+8*(1/3)^8*9+21*(1/3)^7*8+20*(1/3)^6*7+5*(1/3)^5*6+5*(1/3)^5*6+12*(1/3)^4*5+3*(1/3)^3*4]*(3/3) = 1,7124422.

Kaiken kaikkiaan sain tuloksen, joka on noin 4,2451.
Se on jonkin verran suurempi kuin "houkutuksen" tarjoama 3,75.

Toivottavasti ei tullut laskuvirhettä jossain kohtaa...