Suureiden vertailusta

Tämä puheenvuoro on siinnyt niistä lukuisista hyökkäyksistä erästä "kansanomaista" suureiden vertailutapaa kohtaan, joita verkon keskustelupalstoilla silloin, tällöin joutuu näkemään. Kyse on siitä, onko harhaanjohtavaa tai peräti väärin sanoa, että "hehtaari on sata kertaa suurempi kuin aari". Närää näkyy herättävän varsinkin se, jos sanotaan: "aari on sata kertaa pienempi kuin hehtaari". Seuraavassa esitän erilaisia tapoja verrata suureita toisiinsa.

1. (Puhdas) erotusvertailu eli additiivinen vertailu

Verrattaessa toisiinsa suunnilleen samaa suuruusluokkaa olevia (erisuuria) suureita on luontevaa käyttää vertailukeinona suureiden positiivista erotusta. (Siis otetaan suuremman ja pienemmän erotus.)

Esimerkki 1: Olkoon A=6,5 kg ja B=5,9 kg. Näiden positiivinen erotus on 0,6 kg. Sen mukaan sanomme, että A on 0,6 kg suurempi kuin B. Vastaavasti B on 0,6 kg pienempi kuin A.

Vertailutavan nimessä oleva sana "additiivinen" viittaa siihen, että tässä tavassa käytetään vain yhteenlaskua tai sen käänteisoperaatiota, vähennyslaskua. Suureista suuremman arvo saadaan lisäämällä erotus pienempään, ja taas pienemmän arvo saadaan vähentämällä erotus suuremmasta.

2. (Puhdas) suhdevertailu eli multiplikatiivinen vertailu

Kun verrataan toisiinsa kovin erikokoisia (positiivisia) suureita, on edellistä tapaa luontevampaa käyttää vertailukeinona suureiden ykköstä suurempaa suhdelukua. (Lasketaan siis suuremman suhde pienempään.)

Esimerkki 2: Olkoon A=40 m ja B=600 m. Näiden ykköstä suurempi suhde on 15. Sen mukaan voimme "kansanomaisesti" sanoa, että B on 15 kertaa suurempi kuin A. Vastaavasti A on 15 kertaa pienempi kuin B.

Vertailutavan nimessä oleva sana "multiplikatiivinen"  viittaa siihen, että tässä käytetään vain kertolaskua tai sen käänteisoperaatiota, jakolaskua. Suureista suurempi saadaan, kun pienempi kerrotaan  suhdeluvulla. Vastaavasti pienempi saadaan, kun suurempi jaetaan suhdeluvulla. (Huomaa täysi analogia erotusvertailun kanssa!!)

3. Prosentuaalinen vertailu

Tämä on edellisiä tapoja hiukan mutkikkaampi, mutta varsinkin monissa talouselämän tarkasteluissa luonteva. Tässä käytetään sekä additiivisia että multiplikatiivisia laskutoimituksia muodostettaessa erotuksen suhde perusarvoon. Tulos ilmaistaan sitten prosentteina.

Esimerkki 3: Olkoon A=6,5 kg ja B=5,9 kg kuten ensimmäisessä esimerkissä. Kun lasketaan erotuksen 0,6 kg suhde A:han (noin 0,092), voidaan todeta, että B on 9,2 prosenttia pienempi kuin A. Jos taas lasketaan saman erotuksen suhde B:hen (n. 0,102), näemme, että A on 10,2 prosenttia suurempi kuin B.

Tunnettu kompa on esimerkistäkin näkyvä epäsymmetria. Pitää aina harkita, mikä on se perusarvo, johon verrataan.
Olisimme tietysti voineet laskea ensin itse suureiden suhteet B/A=0,908=90,8% ja A/B=1,102=110,2% ja sitten saada vähennyslaskun avulla halutut tulokset. Joka tapauksessa käytetään sekä additiivisia että multiplikatiivisia operaatioita.

4. Fraktaalivertailu eli vertailu murto-osin

Tämä on periaatteessa samanlainen kuin prosentuaalinen vertailu, mutta prosenttien asemesta käytetään murtolukuja kuvaamaan erotuksen suhdetta perusarvoon.

Esimerkki 4: Pituus B=15 m on puolet suurempi kuin A=10 m, koska erotus 5 m on puolet perusarvosta A. Puolet suurempi on siis sama kuin 50% suurempi. Vastaavasti A on yhden kolmasosan (ts. noin 33%) pienempi kuin B, koska  tällöin perusarvona pidetään pituutta B.

Esimerkki 5: Kokonaiset murtoluvut eivät ole tässä suositeltavia, vaikka periaatteessa kyseisellä logiikalla pituus 30 m on "kaksi yhdesosaa" suurempi kuin 10 m. 

Huomautus: Fraasi "kaksi yhdesosaa suurempi" olisi eri asia kuin "kaksi kertaa suurempi". Sana "kertaa" paljastaa, että kyseessä on puhdas suhdevertailu eikä murto-osavertailu.

Onko kansa väärässä?

Käytin edellä suhdevertailusta puhuessani tahallani kansanomaista puhetapaa, koska tarkoitukseni oli osoittaa miten täydellinen analogia vallitsee erotus- ja suhdevertailun välillä juuri silloin. Totta kai, olisin esimerkissä 2 yhtä hyvin sanoa esimerkiksi "B on 15-kertainen A:han nähden" tai että "A on 1/15 B:stä". Mainittu kansanomainen tapa on kuitenkin symmetrisempi ja ihan kätevä. Mikä vika siinä muka sitten on?! Miksi lause "Työmatkasi on viisi kertaa pitempi kuin minun" aiheuttaa negatiivisia reaktioita? Se on kuulemma moniselitteinen. Olen nähnyt jopa "todistuksia" sille, että viisi kertaa pitempi matka olisi oikeasti kuusinkertainen ja viisi kertaa lyhyempi matka jopa negatiivinen!

Vika lienee siinä, että kriitikot takertuvat sanoihin "suurempi" ja "pienempi" kuvitellen, että ne viittaisivat jotenkin suureiden erotukseen, kuten on laita niissä vertailutavoissa, jossa on mukana additiivinen osuus. Asia ei ole näin. Puhtaassa suhdevertailussa sanaa "suurempi" (vast. "pienempi") käytetään vain osoittamaan, kumpi tarkasteltavista suureista on suurempi (vast. pienempi). Siinä ei kertakaikkiaan ole tarkoitus lisätä mitään mihinkään tai vähentää mitään mistään!!

Mistä sitten tietää, milloin kyseessä on suhdevertailun kansanomainen käyttö? Varma merkki on lauseessa  komparatiivin edellä esiintyvä "kertaa". Sitä ei koskaan käytetä muissa vertailussa. Ei siis pitäisi olla epäselvyyttä!

Perinteisesti me matematiikan kanssa työskennelleet emme ole suosineet kyseistä kansan käyttämään puhetapaa - minäkään en sitä lukiolaisille opettanut. Se nyt vain ei ole kuulunut käyttämääni terminologiaan. Nyt rupeaa tuntumaan siltä, että asia olisi sittenkin kannattanut opettaa, nimittäin oikein; niin paljon hämmennystä näkyy nettikeskusteluissa asian tiimoilla. Pelkäänpä sitäkin, että moni matematiikanopettaja on saattanut opettaa väärää tietoa kyseisestä asiasta.

Tulkittaessa puhetta pitää muutenkin muistaa, että ratkaiseva asia on se, mitä puhuja tarkoittaa eikä se, mitä joku puhetta ymmärtämätön viisastelee hänen tarkoittavan. Kun suomalainen sanoo, että hänellä on housut jalassa, ei ruotsalaisen pidä tuomita tätä puhetta järjettömäksi sillä perusteella, että housut eivät voi olla jalan sisällä! Näin tuomitseva katsoo asiaa oman kielensä prepositioiden kannalta eikä tiedä suomen inessiivin tarkoittavan muutakin kuin sisällä olemista.

Myönnän kyllä, että kuullessani jonkun "maallikon" sanovan "puolet suurempi" en voi olla ihan varma siitä, mitä hän tarkoittaa. Voi olla, että sanoja tarkoittaakin kaksinkertaista määrää; tämähän on kovin yleinen virhe - ja se on todella virhe, sillä jos "puolet suurempi" ei tarkoittaisi samaa kuin "50% suurempi", olisimme hukassa.
Sitävastoin on helppo luottaa siihen, ettei kukaan tavallinen ihminen puhuessaan 10 kertaa suuremmasta määrästä tarkoita oikeasti 11-kertaista määrää, saati sitten tarkoita 10 kertaa pienemmällä määrällä -9-kertaista, siis negatiivista määrää!  Tähän voi syyllistyä vain henkilö, joka ei yleensä käytä tällaista puhetapaa, mutta yrittää nyt todistella sen "virheellisyyttä".

Kansanomainen suhdevertailu on pitänyt pintansa vuosisatoja. Se toimii hyvin - muillakin kuin suomen kielillä (vrt. "ten times greater than", "sex gånger mindre än"). Kyllä kansa tietää!